• Cournot Competition (setting quantity)

  • Market Structures
    • Perfect Competition
      • $Q^*=a-\overline c,\quad \mathrm{Profit}=0$
    • Finitely Many Firms
      • $Q^*=\frac{N}{N+1}(a-\overline c),\quad \mathrm{Total~Profit}=\frac{N}{(N+1)^2}(a-\overline{c})^2$
        • the only N.E. FOCs → $\mathrm{BR}i(\bar{q}{-i})=\frac{a-\sum_{j\neq i}\bar{q}_j-\bar{c}}{2}\mathrm{~for~}i=1,\dots,N$; Symmetric Guess → $q^=\frac{a-(N-1)q^-\bar{c}}{2}$; Everyone Sets $q^*=\frac{a-\bar{c}}{N+1}$!
      • Firms have incentive to collude by forming a cartel to Split Profit… → Reduces Total Surplus
    • Two Cournot Firms
      • $Q^*=\frac{2}{3}(a-\overline c),\quad \mathrm{Total~Profit}=\frac{2}{9}(a-\overline{c})^2$
    • A Monopoly
      • $Q^*=\frac{1}{2}(a-\overline c),\quad \mathrm{Profit}=\frac{1}{4}(a-\overline{c})^2$

• Bertrand Competition (setting price)

  $$ \Pi_i(p_i,p_j)=\begin{cases}(p_i-\bar{c})Q&\mathrm{if~}p_i<p_j\\(p_i-\bar{c})\frac{1}{2}Q&\mathrm{if~}p_i=p_j\\0&\mathrm{if~}p_i>p_j&&\end{cases} $$

  • $\mathrm{BR}_1(p_2)=\empty\text{ if $p_2>\overline{c}$}$…
  • the Only $(p_1^,p_2^)$: $p_1^=p_2^=\overline{c}$
    • Zero Profits; Efficient Price Level $p=\mathrm{MC}$
  • Comment
    • Setting price and setting quantity are inconsequential for monopoly
    • Duopoly: Cournot vs. Bertrand
      • Cournot (setting quantity) is slow at getting to efficient levels; Bertrand (setting price) does it right away.
      • In reality, most firms have some influence on both price and quantity, so these models here are not the most realistic. But they help convey insights about different forms of competition.

• Public Goods Provision

  • ???

• Second Price Auction

  • ???

B-27 寡头垄断

本章以双寡头垄断（Duopoly） 为代表介绍寡头厂商在产量决策和价格决策等不同情况下的四个寡头垄断模型：同时定产模型、产量领导模型、同时定价模型、价格领导模型。这四个模型是分析寡头垄断市场的基础。

• 古诺模型：参与产量竞争的厂商根据其对其他参与竞争厂商的产量选择作出合理猜测后选择自己的产量，使得自己的利润达到最大化。

  • 双寡头古诺模型

    1. 根据利润最大化条件写出反应函数
    2. 联立反应函数得到古诺均衡产量

  • 多寡头古诺模型

    $$ p(q)\left(1-\frac{1}{|\epsilon|/s_i}\right)=\mathrm{MC}_i(q_i) $$

    • $s_i$ 取 0 或 1 极端分别位垄断厂商和竞争性厂商的利润最大化条件

  • 串谋（形成卡特尔）：参与寡头竞争的厂商联合决定总产量以实现总利润最大化，然后再瓜分利润

    • 违约动机
• 斯塔克尔伯格模型：产量决策、序贯博弈
  1. 写出产量跟随者的反应函数
  2. 将产量跟随者的反应函数代入产量领导者的利润最大化条件
• 伯特兰模型：假设参与博弈的厂商是价格的联合制定者（同时制定者），而销售数量由市场决定。
  • 进一步假设两家厂商边际成本相同，生产的产品为完全替代，两家寡头厂商同时设定价格。如果各厂商都有足够的市场供给能力，为了争夺整个市场，厂商会相互竞价直到价格等于边际成本。（即寡头垄断市场中的“伯特兰悖论”，现实中不容易发生。）
• 价格领导模型
  • 决策过程
    1. 价格领导者确定价格
    2. 价格跟随者根据价格确定产量，从而得到跟随者的供给曲线
    3. 领导者根据自己面临的需求函数得到自己的销售量
  • 解法
    1. 根据价格领导者确定的价格，写出价格跟随者的供给曲线
    2. 根据价格跟随者的供给曲线和市场需求曲线，写出领导者面临的需求曲线（剩余需求曲线）
    3. 根据剩余需求曲线得到价格领导者的利润函数——此时得到了如下变量的函数关系：市场价格（领导者决定）、领导者能够出售的产量、领导者利润（领导者最大化目标）

实施串谋时市场均衡价格最高、产量最小（相当于一般垄断），而伯特兰均衡时均衡价格最小（等于边际成本）、产量最大（相当于完全竞争）。