注：这里不特地注明诸如 $E(X)<+\infty$、$E(Y^2)<+\infty$ 这样的条件，即不严谨地默认随机变量的期望和方差是存在且有限的。比如，若 $n$ 维随机变量 $X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的每一个 $X_i$ 的二阶矩都存在（$E(X_i^2)<+\infty$），我们才会考虑两两之间的关系（协方差矩阵）。

6. 多维随机变量的数值特征

6.1 多维随机变量函数的期望

已知 $g(x_1,\cdots,x_n)$ 和 $X=(X_1,\cdots,X_n)$ 的联合分布函数 $F(x_1,\cdots,x_n)$，求 $E(Y)=E\left[g(x_1,\cdots,x_n)\right]$：
1. 按定义直接计算；
2. 使用 Thm 6.1.1.
$$ \begin{aligned} E(Y):&=\int_{-\infty}^{+\infty}{yf_{Y}(y)\mathrm{d}y}\xlongequal[]{\text{Riemann-Stieltjes 积分}} \int_{-\infty}^{+\infty}{y\mathrm{d}F_Y(y)}\\ &= \left\{ \begin{array}{ll} \sum_{x_i}{g(x_1,\cdots,x_n)P(X_1=x_1,\cdots,X_n=x_n)}&,\text{ if }\text{离散型}\\ \int\cdots\int_{\mathbb R^n}{g(x_1,\cdots,x_n)f(x_1,\cdots,x_n)\mathrm{d}x_1\cdots\mathrm{d}x_n}&,\text{ if }\text{连续型} \end{array} \right. \end{aligned} $$

期望和方差的性质

线性组合的期望等于期望的线性组合（不要求相互独立）.（分解思想）
相互独立的随机变量乘积的期望等于各自期望值的乘积.
$X_i$ 相互独立，有 $D(\sum\limits_i{c_iX_i})=\sum\limits_ic_i^2D(X_i)$.

“化整为零”分解思想：将 $E(X)$ 分解为 $\sum_i{E(X_i)}$ 进行计算

见教材、PPT 例题。

6.2 协方差与相关系数

协方差、相关性

有二维随机变量 $(X,Y)$，且 $E(X^2),E(Y^2)<+\infty$，则有 $X$ 与 $Y$ 的协方差 $\sigma_{XY}$：

$$ \mathrm{Cov}(X,Y):=E(\{Y-E(Y)\}\{X-E(X)\})=E(XY)-E(X)E(Y) $$

称 $X$ 和 $Y$ 正相关、负相关、不相关，分别对应 $\sigma_{XY}>0,\,\sigma_{XY}<0,\,\sigma_{XY}=0$.

<aside> ⚠️

相关性 ≠ 独立性

$X$ 与 $Y$ 独立 $\implies$ $X$ 与 $Y$ 不相关，反之未必.

e.g. 若 $f_X(x)=\frac{1}{2}\exp(-|x|)$，有 $\mathrm{Cov}(X,|X|)=0$，且 $X$ 与 $|X|$ 不独立.

e.g. 服从单位圆上均匀分布的 $(X,Y)$.

特别地，二维正态分布和两点分布中，该命题反之是成立的的.

</aside>

协方差的性质

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$.
$\mathrm{Cov}(X,X)=D(X)$.
双线性：$\mathrm{Cov}(\sum\limits_i a_iX_i,\sum\limits_j b_jY_j)

\sum\limits_i \sum\limits_j a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$. 1. 不一定相互独立的随机变量线性组合的方差计算：

    $$
    \\begin{aligned}
    
    D(\\sum\\limits_{i=1}^n a_i X_i)
    &=\\mathrm{Cov}(\\sum\\limits_{i=1}^n a_i X_i,\\sum\\limits_{i=1}^n a_i X_i)\\\\
    &=\\sum\\limits_{i=1}^n \\sum\\limits_{j=1}^n a_ia_j\\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\\\\
    &=\\sum\\limits_{i=1}^n{a_i^2DX_i} + \\sum\\limits_{i\\ne j} a_i a_j\\mathrm{Cov}(X_i,X_j)
    \\end{aligned}
    $$
    
2. 特别地，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\\mathrm{Cov}(X,Y)$.